第一章 随机事件及其概率

1.1随机事件

（1）事件的差

（2）事件运算性质

幂等律$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad A\cup A=A, A \cap A=A$
交换律$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad A \cup B=B \cup A, A \cap B=B \cap A$
结合律$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad (A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),(A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C)$
分配律$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C)$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C)$
对偶(De Morgan)律 $\qquad\qquad\qquad \overline{A \cup B}=\bar{B} \cap \bar{A}, \overline{A \cap B}=\bar{B} \cup \bar{A}$

（3）例题

试用A， B，C三个事件的运算和关系表示下列各事件：

(1)A发生而B,C都不发生: $A \cap \bar{B} \cap \bar{C}=A \cap \overline{B \cup C}=A-B-C$
(2)A,B同时发生时C也发生: $A B \subset C$
(3)A,B,C恰好发生两个: $A B \bar{C} \cup A \bar{B} C \cup \bar{A} B C$
(4)A,B,C至少发生两个: $A B \bar{C} \cup A \bar{B} C \cup \bar{A} B C \cup A B C =A B \cup B C \cup A C$

1.2随机事件的概率

（1）不可能事件的概率

（2）有限可加性

若A₁,A₂,A₃,$\cdots$,A_k 两两互不相容，则

（3）逆事件的概率

（概率的互补性）对任意事件A，有

（4）减法公式

设A，B是两个事件，若$A \subset B$，则有

推论1：概率的单调不减性
当$A \subset B$时，有：$P(A) \leq P(B)$

推论2：对任意事件A，B有

（5）加法公式

类似可得, n个事件的加法公式

1.3古典概率模型

（1）古典概型的定义

1.试验的样本空间只包含有限个元素
2.试验中每个基本事件发生的概率相同

具有以上两个特点的试验称为等可能概型或古典概型

（2）古典概型的计算

1.4几个重要公式(1)

（1）条件概率

1.定义

设 $A, B$ 是两个事件, 且 $P(A)>0,$ 称

为在事件 $A$ 发生的条件下事件 $B$ 发生的条件概率

$P(B \mid A)$ 表示在缩小的样本空间 $S_{A}$ 中 $, B$ 发生的概率
$P(A B)$ 表示在样本空间 $S$ 中, $A B$ 发生的概率
用古典概率公式，则

般来说, $P(B \mid A)$ 比 $P(A B)$ 大

2.例题

某建筑物按设计要求使用寿命超过50年的概率为0.8，超过60年的概率为0.6。该建筑物经历了50年之后，它在10年内倒塌的概率有多大?

解：

（2）乘法公式

1.定义

定理: 对于任意的事件 $A, B$，
若 $P(A)>\mathbf{0}, \quad$ 则 $\quad P(A B)=P(A) P(B \mid A)$
若 $P(B)>0, \quad$ 则 $\quad P(A B)=P(B) P(A \mid B)$

2.补充

设 $A_{1}, A_{2}, \ldots A_{n}$ 为n个事件, 且 $P\left(A_{1} A_{2} \ldots A_{n-1}\right)>0,$ 则有
$P\left(A_{1} A_{2} \cdots A_{n}\right)=P\left(A_{1}\right) P\left(A_{2} \mid A_{1}\right) P\left(A_{3} \mid A_{1} A_{2}\right) \cdots P\left(A_{n} \mid A_{1} A_{2} \cdots A_{n-1}\right)$

3.例题

某球队要经过三轮比赛才能出线. 该球队第一轮比赛被淘 汰的概率为0.5, 第二轮比赛被淘汰的概率为0.7,第三轮比赛被 淘汰的概率为0.9.求球队出线的概率

解: 记 $A_{i}=$ “球队第$i$轮被淘汰” , $i=1,2,3$

1.4几个重要公式(2)

重要考点，一般出现于第一道大题

（1）全概率公式

定义: 设 $S$ 为试验 $E$ 的样本空间, $B_{1}, B_{2}, \cdots$ 为有限个或可列个事件，若满足：
(1) $B_{i} B_{j}=\varnothing,(i \neq j, i, j=1,2, \cdots)$
(2) $B_{1} \cup B_{2} \cup \cdots=S$
则称 $B_{1}, B_{2}, \ldots$ 是样本空间 $\Omega$ 的一个划分
设随机试验E的样本空间为 $S, A$ 为E的事件,$B_{1}, B_{2}, \ldots, B_{n}$ 是 $S$ 的一个划分, 且 $P\left(B_{i}\right)>0(i=1,2, \ldots, n),$ 则

（2）贝叶斯公式

定义: 设 $S$ 为试验 $E$ 的样本空间, $B_{1}, B_{2}, \cdots$ 为有限个或可列个事件，若满足：
(1) $B_{i} B_{j}=\varnothing,(i \neq j, i, j=1,2, \cdots)$
(2) $B_{1} \cup B_{2} \cup \cdots=S$
则称 $B_{1}, B_{2}, \ldots$ 是样本空间 $\Omega$ 的一个划分
设随机试验E的样本空间为 $S, A$ 为E的事件,$B_{1}, B_{2}, \ldots, B_{n}$ 是 $S$ 的一个划分, 且 $P\left(B_{i}\right)>0(i=1,2, \ldots, n),$ 则

1.例题

例1：某电信营业厅有100部相同型号的手机代售，其中60部是甲厂生产的， 30部是乙厂生产的，10部是丙厂生产的。已知三个厂的不合格率分别为0.1， 0.3，0.2，一位顾客从中随机地取一部，且这部手机的厂标已经脱落。

（1）顾客取到的是不合格手机的概率？
（2）顾客使用后发现不合格，试推断此手机是由哪个厂生产的？

（1）设 $A$ 表示顾客拿到的手机不合格 $; B_{i}(i=1,2,3)$分别表示顾客拿到的手机是甲厂、乙厂、丙厂生产的

（2）设 $A$ 表示顾客拿到的手机不合格 $; B_{i}(i=1,2,3)$分别表示顾客拿到的手机是甲厂、乙厂、丙厂生产的

例2: 用甲胎蛋白法普查肝癌。 $C=\{$ 被检验者患肝癌}，, 则 $\bar{C}=\{$ 被检验者未患肝癌 $\}, A=\{$ 甲胎蛋白检验结果为阳 性}, 则$\bar{A}=\{$ 甲胎蛋白检验结果为阴性}，

由过去的统计资料已知 $P(A \mid C)=0.95, P(\bar{A} \mid \bar{C})=0.90$
又已知某地居民的肝癌发病率为 $P(C)=0.0004 .$
若该地某位居民在一次普查中甲胎蛋白检验结果为阳性,
求此人真的患有肝癌的概率

1.5事件的独立性与贝努里试验

（1）事件的独立性

1.定义

设 $A, B$ 是两个事件,若满足
$P(A B)=P(A) \cdot P(B)$
则称事件 $A, B$ 相互独立,简称 $A, B$ 独立.

说明：1.事件 $A$ 与事件 $B$ 相互独立, 是指事件 $A$ 的发生与事件$B$ 的发生概率无关。
2.今后判断事件 $A$ 与事件 $B$ 相互独立, 通常采取定义的方式.

2.两个结论

1. 若事件 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n}(n \geq 2)$ 相矽独立, 则其中任意 $k(2 \leq k \leq n)$个事件也相互独立。
2. 若 $n$ 个事件 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n}(n \geq 2)$ 相互独立,则将 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n}$ 中 任意多个事件换成它们的对立事件,所得的 $n$ 个事件也相互独立。

3.例题

设每一名机枪射击手击落飞机的概率都是0.2,若10名机 枪射击手同时向一架飞机射击,问击落飞机的概率是多少?

设事件 $A_{i}$ 为“第 $i$ 名射手击落飞机”, $i=1,2, \cdots, 10$，事件 $B$ 为“击落飞机”

（2）贝努里试验

1.定义

贝努里概型四个特征：

(1) 在相同条件下进行n次重复试验.
(2) 每次试验结果有且仅有两种: $A$ 或 $\bar{A}$
(3) 每次试验是相互独立的
(4) 每次试验中 $P(A)=p, P(\bar{A})=1-p$

定理：

在n重贝努里试验中,若设 $P(A)=p, P(\bar{A})=1-p,$ 则事件 $A$ 恰好出现 $k(\mathbf{0} \leq k \leq n)$ 次的概率是

2.例题

从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯的概率都是1/3.求汽车行驶途中至少 遇到5次红灯的概率.

设 $B_{k}="$ 遇到 $k$ 次红灯 $", \quad \boldsymbol{k}=\mathbf{0}, \mathbf{1}, \mathbf{2}, \cdots, \mathbf{6}$

所以至少遇到5次红灯的概率为

第二章 随机变量及其分布

2.1随机变量

定义 设随机试验的样本空间为 $S=\{\boldsymbol{e}\} . \boldsymbol{X}=\boldsymbol{X}(\boldsymbol{e})$是定义在样本空间$S$上的实值单值函数。称$X=X(e)$ 为随机变量。
后面，我们以大写字母如 $\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}, \boldsymbol{Z}, \boldsymbol{W}, \ldots$ 表示随机变量, 而以小写字母 $x, \boldsymbol{y}, \boldsymbol{z}, \boldsymbol{w}, \ldots$ 表示实数.

2.2离散型随机变量的概率分布

设X所有可能取的值为 $x_{k}(\boldsymbol{k}=\mathbf{1}, \mathbf{2}, \ldots),$ 称
$P\left\{X=x_{k}\right\}=p_{k}, k=1,2, \ldots$
为离散型随机变量X的分布律。

（1）（0-1）分布

设随机变量 $X$ 只可能取0与1两个值, 它的分布律是
$P(X=k)=p^{k}(1-p)^{1-k}, k=0,1 \quad(0<p<1)$ 则称 X服从以p为参数的(0-1)分布或两点分布。

（2）超几何分布

在 $N$ 件产品中有M 件不合格品，从中任取 $n$ 件检查，
$(n \leq M),$ 记X为取到的次品数，则
$P(X=k)=\frac{C_{M}^{k} C_{N-M}^{n-k}}{C_{N}^{n}}, \quad k=0,1, \ldots, n$
称随机变量 $\boldsymbol{X}$ 服从参数为n, $N, M$ 的超几何分布，记作$X \sim H(n, M, N)$
注：这种抽样等价于不放回抽样。

（3）二项分布

用 $\boldsymbol{X}$ 表示 $n$ 重贝努利试验中事件 $A$ 发生的次数，则
$P(X=k)=P_{n}(k)=C_{n}^{k} p^{k}(1-p)^{n-k} \quad k=0,1, \cdots, n$
易证 $\quad$ (1) $\boldsymbol{P}(\boldsymbol{X}=\boldsymbol{k}) \geq \mathbf{0}$
(2) $\sum_{k=0}^{n} P(X=k)=1$
称随机变量 $\boldsymbol{X}$ 服从参数为$n$和 $p$ 的二项分布，记作$X \sim B(n, p)$
注意：当n=1时，二项分布就是(0-1)分布。
注意：这种抽样等价于放回抽样。

性质:
设 $X \sim B(n, p),$ 则当 $k=[(n+1) p]$（不大于它的最大整数[3.5]=3）时，$P(X=k)$ 取得最大值.
证明:
$\frac{P(X=k)}{P(X=k-1)}=\frac{C_{n}^{k} p^{k}(1-p)^{n-k}}{C_{n}^{k-1} p^{k-1}(1-p)^{n-k+1}}=1+\frac{(n+1) p-k}{k(1-p)}$
故 当 $k<(n+1) p$ 时， $P(X=k)>P(X=k-1),$ 即 $P(X=k)$ 随$k$增;
当 $k>(n+1) p$ 时， $P(X=k)<P(X=k-1),$ 即 $P(X=k)$ 随$k$减;

（4）泊松分布

设随机变量X所有可能取的值为0 , 1, 2 ,... 且概率分布为：
$\boldsymbol{P}(\boldsymbol{X}=\boldsymbol{k})=\frac{\lambda^{k}}{\boldsymbol{k} !} \boldsymbol{e}^{-\lambda}, \quad \boldsymbol{k}=\mathbf{0 , 1 , 2}$ (其中$\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{\lambda^{k}}{\boldsymbol{k} !}$是${e}^{\lambda}$的展开式)
其中 $\lambda>\mathbf{0}$ 是常数,则称 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的 泊松分布,记作 $X \sim \pi(\lambda)$。
性质： 设 $X \sim \pi(\lambda), \quad$ 则当 $k=[\lambda]$ 时， $P(X=k)$ 取得最大值。

泊松（Poisson）定理: 设 $\lambda>0$ 是一常数,n是任意正整数,设 $\lim n p_{n}=\lambda,$ 则对于任一固定的非负整数k有
$\lim _{n \rightarrow \infty} C_{n}^{k} p_{n}^{k}\left(1-p_{n}\right)^{n-k}=\frac{\lambda^{k} e^{-\lambda}}{k !}$
定理表明： $n$ 比较大, $p$ 很小时, 以 $n, p$ 为参数的二项分布的概率值可以由参数为 $\lambda=n p$ 的泊松分布的概率值近似。

（5）几何分布

设随机变量 $X$ 的所有可能取值为1, $2,3, \cdots,$ 且
$P(X=k)=(1-p)^{k-1} p, \quad k=1,2,3, \cdots$
其中 $0<p<1$,则称 $X$ 服从参数为 $p$ 的几何分诉，
记作 $X \sim G(p) .$

2.3随机变量的分布函数

设 $X$ 是一个随机变量，称
$\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{P}(\boldsymbol{X} \leq \boldsymbol{x})(-\infty<\boldsymbol{x}<+\infty)$
为 $X$ 的分布函数 $，$ 记作 $\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x})$。
如果将 $X$ 看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数 $F(x)$ 的值就表示 $X$ 落在区间 $(-\infty, x]$内的概率。
$P\left\{x_{1}<X \leq x_{2}\right\}=P\left\{X \leq x_{2}\right\}-P\left\{X \leq x_{1}\right\}=F\left(x_{2}\right)-F\left(x_{1}\right)$

$\begin{aligned} P\left(X=x_{0}\right) &=F\left(x_{0}+0\right)-F\left(x_{0}-0\right) \\ P\left(x_{1} \leq X \leq x_{2}\right) &=P\left(x_{1}<X \leq x_{2}\right)+P\left(X=x_{1}\right) \\ &#038;=F\left(x_{2}\right)-F\left(x_{1}\right)+P\left(X=x_{1}\right) \end{aligned}$
$\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x})$ 右连续，即 $\lim _{\boldsymbol{x} \rightarrow \boldsymbol{x}_{0}^{+}} \boldsymbol{F}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{F}\left(\boldsymbol{x}_{0}\right)$

2.4连续型随机变量及其分布

（1）定义

设随机变量X的分布函数为 $F(x),$ 存在非负函数 $f(x)$，使得对任意实数 $x$ ，有$F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t) d t$，则称